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劉徽[編輯]

 
 
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劉徽，生卒年不詳，三國時代魏國數學家。白尚恕考證他是山東淄博淄川人，梁敬王劉定國之孫菑鄉侯劉逢喜的後裔[1]。

劉徽為《九章算術》做注，於三國魏景元四年（公元263年）成書，[2]其中他提出用割圓術計算圓周率的方法，計算出正192邊形的面積，得到圓周率的近似值為157/50 (即 3.14)，在此基礎上又計算出正3072邊形的面積，得到圓周率的近似值為3927/1250 (即 3.1416)。作此書注時，他還依據其「割補術」為證勾股定理，另闢蹊徑作青朱出入圖。圖雖失傳，但據其「出入相補、以盈補虛」原理，後人參照書中類似方法還原了此圖。

劉徽後撰《重差》，唐初以後失傳，僅《重差》一卷單行，因其第一題是測量海島高度和距離的問題，故又名《海島算經》。此外劉徽還著有《魯史欹器圖》，《九章重差圖》，唐代失傳。

劉徽的卓越成就受到後人的重視，宋徽宗時代為恢複數學教學制度，便追封了部分歷代的天算家，其中便有劉徽

 

割圓術 (劉徽)[編輯]

 
 
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劉徽割圓術原理

三國時代數學家劉徽的割圓術是中國古代數學中「一個十分精彩的演算法[1]」。在此之前，圓周率採用「周三徑一」的實驗數據。東漢科學家張衡採用\pi =\frac{736}{232}=3.172和\pi=\sqrt{10}=3.16。劉徽認為\pi=\sqrt{10}過大。[2]。東漢天文學家王蕃採用\pi={142 \over 45}=3.156。這些圓周率都是實驗值，都只準確到二位數字。劉徽是中國數學史上最先創造了一個從數學上計算圓周率到任意精確度的迭代程序。他自己通過分割圓為192邊形，計算出圓周率在3.141024 與 3.142704之間，取其近似，並以 {157 \over 50}表示。這個數值準確到三位數字，比前人的圓周率數值都准，但他自己次承認這個數值偏小[3]。後來劉徽發明一種快捷演算法，可以只用96邊形得到和1536邊形同等的精確度，從而得令他自己滿意的\pi=3.1416。

劉徽割圓術簡單而又嚴謹，富於程序性，可以繼續分割下去，求得更精確的圓周率。南北朝時期著名數學家祖沖之用劉徽割圓術計算11次，分割圓為12288邊形，得圓周率\pi=3.1415929，成為此後千年世界上最準確的圓周率。

劉徽在圓周率領域的貢獻，不僅在於求得 {157 \over 50}和\pi=3.1416，更重要的在於他創造了一世界數學史上最精彩的割圓術：阿基米德割圓術和劉徽割圓術一樣用雙向迫近，因而同樣嚴謹完備，但遠不如劉徽簡潔；阿基米德用雙歸謬法推證圓面積，不如劉徽用極限論先進；托勒密割圓術和阿爾·卡西割圓術只是單向迫近，不如劉徽嚴謹；趙友欣割圓術和日本關孝和割圓術從正方開割，屬於劉徽割圓術的變化，而且也是單向迫近。劉徽割圓術雖然不是世界最早，卻是數學史上最嚴謹完備簡潔的割圓術。[來源請求]

 


圓面積公式[編輯]

 
圓面積=圓的半周長X半徑

劉徽割圓術是建立在圓面積論的基礎之上的。他首先論證，將圓分割成多邊形，分割來越細，多邊形的邊數越多，多邊形的面積就和圓面積沒有差別了。他說，將6邊形一邊的長度乘以圓半徑，再乘3，得12邊形的面積。將12邊形的一邊長乘半徑，再乘6，得24邊形面積。越割越細，多邊形和圓面積的差越小。如此割了再割，最後終於和圓合為一體，毫無差別了[4]。

6邊形的面積顯然和圓面積相差很多。
內接正12邊形面積 = 6邊形面積+6個藍色三角形面積，向圓面積趨近了一步。
正24邊形面積=6邊形面積+6個藍色三角形面+12個黃色三角形面積，更加接近圓面積了。
顯然：
正12邊形面積 <正24邊形面積< 正48邊形面積<正96邊形面積……<內接6*2N邊形面積<圓面積。

劉徽明顯已經掌握了無窮小分割和極限的概念：[5]

\lim_{N \to \infty} 內接 6*2N邊形面積 \longrightarrow 圓面積。
他又指出：6邊形之外，遺留了半徑的一小段d ，稱為余徑。將余徑d乘多邊形的一邊，所得長方形ABCD，已經越出圓周範圍之外。如果將圓周分割得很細，余徑d趨向於0，而長方形ABCD的面積也趨向於0[6]。

顯然，劉徽之所以研究余徑，目的是從上限和下限兩個方面逐步逼近圓面積：

\lim_{N \to \infty} 內接 6*2N邊形面積 \longrightarrow 圓面積 \longleftarrow \lim_{N \to \infty} 內接 6*2N邊形面積+6*2N*d*L。

劉徽進一步證明圓面積=圓周/2 × 半徑。

關於多邊形的面積，劉徽有如下公式：
2 N邊形的面積= N邊形的半周長×R。
= L\times \frac{N}{2} \times R,
其中L為N邊形的單邊長，R為圓半徑。
此公式可用劉徽出入相補原理證明： 將內接2N邊形，分割，然後重新排列成寬為 L x N/2, 高為R的長方形；
顯然2N邊形的面積=長方形面積=\frac{N}{2}\cdot L \cdot R=N邊形的半周長 * R
當N \longrightarrow \infty
N邊形的半周長\longrightarrow 圓的半周長
\lim_{N \to \infty} 2N邊形面積=N邊形的半周長 * R \longrightarrow圓面積
所以
圓的半周長 * R = 圓面積[7]
因此
圓周 = 2* 圓面積/R
圓周率 \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}圓周/直徑= 2* 圓面積/(R*2R)= 圓面積/R2
= \lim_{N \to \infty} 2N邊形的面積/R2

割圓術程序[編輯]

劉徽從半徑1尺圓的內接正6邊形開始，逐次分割為12邊形，24邊形，48邊形，96邊形。反覆使用勾股定理求得各多邊形的邊長，又用劉氏多邊形面積公式求多邊形面積。

分割6邊形為12邊形[編輯]

 
劉徽割圓術原理

令圓直徑為2尺，折半得半徑1尺。圓內接正6邊形的邊長也是1尺。[8] 如圖：

半徑OA=r=1尺=10寸
6邊形單邊長AB=M=10寸
從圓心O作AB的垂直平分線OC，將AB平分為二，
AP=BP=M/2，AP+BP=AB
垂直平分線OC和圓周相交於C，
作直線AC
AC就是12邊形的一邊，

OAP是一個直角三角形

弦=半徑=r=10寸
勾=AP=M/2=5寸
股OP 可用勾股定理求得：
令弦長=X，股長=G， 句長=M/2，則：
{} G^2 = r^2 - \left(\frac{M}{2}\right)^2=100-25=75 平方寸
{}G= \sqrt{r^2- \frac{M^2}{4}}
因為1寸 =100000忽
1平方寸 =10000000000平方忽
{}G=\sqrt{750000000000}=866025 {2 \over 5}忽[9]

APC是一個小直角三角形

令小弦AC長度為m，令小句PC長度為j

{} j= r - G =1000000-866025 {2 \over 5}= 133974 {3 \over 5 }忽
用勾股定理求m：
{}m^2= \left(\frac{M}{2}\right)^2 + j^2
={}(500000)^2 + (133974.6)^2=267949193445平方忽
12邊形的一邊長度 = m = \sqrt{267949193445} =517638.09忽
12邊形的一邊長度的一半= {m \over 2}={ 517638.09 \over 2}=258819.045忽

分割12邊形為24邊形[編輯]

將上一輪的多邊形邊長m作為新一輪割圓的開始， 作替換M=m=12邊形的一邊長度=517638.09忽 繼續將此多邊形的一邊平分，周而復始，重複使用[10]：

{}G= \sqrt{r^2- \frac{M^2}{4}}
{} j= r - G
{}m^2= \left(\frac{M}{2}\right)^2 + j^2
{}= \frac{M^2}{4}+j^2
由上M^2已有現成數值{}M^2= 267949193445
\frac{M^2}{4}={267949193445 \over 4}=66987298361
{}G= \sqrt{r^2-\frac{M^2}{4}}=\sqrt{1000000000000-66987298361}=965925{ 4 \over 5}
{} j= r - G =1000000-965925{ 4 \over 5}=34074{1 \over 5}
{}m^2= (\frac{M}{2})^2 + j^2 =66987298361+ (34074{1 \over 5})^2=68148349466
24邊形一邊長度 m=\sqrt{68148349466}=261052{ 2 \over 5}

分割24邊形為48邊形[編輯]

將第二輪的多邊形邊長m作為第三輪割圓的起點[11]， 作替換M=m=261052{ 2 \over 5}

{}M^2=m^2 =68148349466
\frac{M^2}{4}={68148349466 \over 4}=17037087366
{}G= \sqrt{r^2-\frac{M^2}{4}}=\sqrt{1000000000000-17037087366}=991444 {4 \over 5}
{} j = r - G =1000000-991444 {4 \over 5}=8555{ 1 \over 5}
{}m^2=(\frac{M}{2})^2 + j^2= {68148349466 \over 4}+(8555 {1 \over 5})^2=17110278813
開平方，得48邊形一面m= \sqrt{17110278813}=130806忽

根據劉徽多邊形面積公式：

96邊形的面積= 48邊形的半周長×半徑= m \times \frac{48}{2} \times r,

所以96邊形的面積A_{96}= 130806 \times \frac{48}{2}\times 1000000

={130806 \times 24 \times 1000000}=31393440000000平方忽
A_{96}=\frac{31393440000000}{10000000000}= 313{584 \over 625} 平方寸

分割48邊形為96邊形[編輯]

將第三輪的多邊形邊長m作為第四輪割圓的起點[12]

作替換M=m=130806忽

M^2=m^2 =17110278813
\frac{M^2}{4}={17110278813 \over 4}=4277569703
{}G= \sqrt{r^2-\frac{M^2}{4}}=\sqrt{1000000000000-4277569703}= 997858 {9 \over 10}
{} j = r - G =1000000-997858{ 9 \over 10}=2141{1 \over 10}
{}m^2=(\frac{M}{2})^2 + j^2= {17110278813 \over 4}+(2141{1 \over 10})^2 =4282154012
開方得
96邊形的一邊m=\sqrt{4282154012}=65438忽

根據劉徽多邊形面積公式：

192邊形的面積A_{192}=96邊形的半周長×半徑= m \times \frac{96}{2} \times r

所以192邊形的面積A_{192}= 65438 \times \frac{96}{2}\times 1000000 平方忽

={65438 \times 48 \times 1000000}=3141024000000平方忽
A_{192}= \frac{3141024000000}{10000000000}= 314 {64 \over 625} 平方寸

劉徽圓周率不等式[編輯]

 
劉徽圓周率不等式示意圖

劉徽利用多邊形面積差的幾何學，得出圓周率的雙邊不等式。

如圖：
黃色代表N邊形面積A_{N}
黃色+綠色代表2N邊形面積A_{2N}
綠色代表2N邊形面積與N邊形面積之差D_{2N}=A_{2N} -A_{N}
長方形ABCD面積=2 \times D_{2N}
C代表圓面積。
如下不等式成立：
A_{2N} < C < A_{2N} +1 \times D_{2N}

或

A_{2N} < C < A_{N} + 2 \times D_{2N}

當N=96，2N=192：

192邊形面積 A_{192}= 314 {64 \over 625}
96邊形的面積 A_{96}= 313{ 584 \over 625}
192邊形面積和96邊形的面積之差（差冪）=D_{192}=A_{192} - A_{96}=314{64 \over 625} - 313\frac{584}{625}
D_{192}= {105 \over 625}
A_{192} < C < A_{96} + 2 \times D_{192} =A_{192} + D_{192}
314{64 \over 625} < C < 313{584 \over 625}+ 2 \times {105 \over 625}= 314{64 \over 625} + {105 \over 625}
314{64 \over 625} < C < 314 {169 \over 625}
即
3.141024 < \pi <3.142704

劉徽認為這個面積已經超過圓面積，所以將192邊形的面積的整數部分定為圓面積：

圓面積~192邊形面積=314 {64 \over 625} =314.1024 \approx 314
所以圓周率=圓面積/半徑2\approx \frac{314 }{100} ={157 \over 50}(=3.14)

這就是徽率。

實際上只要計算精確度夠高，劉徽割圓術可以計算到任何精確度，不僅限於二位小數點。

圓周率捷法[編輯]

劉徽在得圓周率=3.14之後，將這個數值和晉武庫中漢王莽時代製造的銅製體積度量衡標準嘉量斛的直徑和容積檢驗，發現3.14這個數值還是偏小。於是繼續割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率={3927 \over 1250} =3.1416 。但是劉徽卻不敘述「分割96邊形為192邊形」，「分割192邊形為384邊形」，「分割384邊形為768邊形」，「分割768邊形為1536邊形」：因為他發現了一個快捷的演算法[13]，只要利用96邊形的數據經過一次除法和一次加法，就可以獲得和計算到1536邊形同等的精確度  \pi =3.1416，省去了4次開方計算；畢竟在三國時代用籌算進行開方相當的繁難。

劉輝圓周率捷法乃是以他素有研究的多邊形面積差為基礎的。

令D_{2N}表示2N邊形的面積A_{2N}和N邊形的面積A_{N}差

D_{2N} = A_{2N} - A_{N}

D_{96}，D_{192}，D_{384}，D_{768} \cdots形成一個等比級數:
D_{192} \approx {1 \over 4} \times D_{96}
D_{384} \approx {1 \over 4} \times D_{192}
D_{768}\approx {1 \over 4} \times D_{384}
因此
\begin{align} D_{384} & {} \approx \frac{1}{4} D_{192} \\ D_{768} & {} \approx \left(\frac{1}{4}\right)^2 D_{192} \\ D_{1536} & {} \approx \left(\frac{1}{4}\right)^3 D_{192} \\ D_{3072} & {} \approx \left(\frac{1}{4}\right)^4 D_{192} \\ & {} \ \ \vdots \end{align}
{}\pi = A_{192} + D_{384} + D_{768}+D_{1536}+D_{3072} + \cdots \approx A_{192} + F \cdot D_{192}.

其中

F = \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \left(\frac{1}{4}\right)^4 + \cdots = \frac{1}{3}.
{}=\pi = A_{192} + \left(\frac{1}{3}\right)D_{192} \sim {3927 \over 1250} = 3.1416.\,

劉徽圓周率捷法，可以解釋如下幾個問題：[來源請求]

1)為什麼劉徽割圓術以多邊形面積為基礎，因為圓周率捷法必須用到多邊形面積差。
2)劉徽對割圓術的陳述為什麼止於96邊形。因為他發明了一個便捷的方法，只用96邊形數據，就可以算出相當於1536邊形(甚至12288邊形)的精確度。
3)晉武庫一段的作者，非劉徽莫屬，而不可能出自祖沖之。面積差法本來就是他推求不等式 A_{192} < \pi < A_{192} + D_{192}的基礎。從  \pi < A_{192} + D_{192}到\pi < A_{192} +{1 \over 3} \times D_{192}一脈相承。何況九章算術中全無「祖沖之注」的痕迹，而且一字不提祖沖之密率 \pi \approx {355 \over 113}。

劉徽的 \pi  = 3927 \over 1250  後來見於印度數學中，足證古印度數學採用劉徽注《九章算術》[14]

割圓術迭代公式[編輯]

如令半徑=1， 從

{} G= \sqrt{r^2- \frac{M^2}{4}}
{} j= r - G
{} m^2= \frac{M^2}{4}+j^2

可簡化為：

{}G= \sqrt{1- \frac{M^2}{4}}
{}m^2= \frac{M^2}{4}+(1-G)^2
m^2= \frac{M^2}{4}+1-2 \times G + G^2
m^2= \frac{M^2}{4}+1-2 \times G + 1- \frac{M^2}{4}
m^2= 2-2 \times G= 2 -2 \times \sqrt{1- \frac{M^2}{4}}
m^2= 2 -\sqrt{4- {M^2}}
由此可得劉徽割圓術迭代公式：
2-m^2 =\sqrt{2+ (2-M^2)}
圓周率= 3*2^N * m

π的連平方根表示式[編輯]

根據劉徽割圓術迭代公式：

2-m^2 =\sqrt{2+ (2-M^2)}
圓周率= 3*2^N * m

從半徑=1的內接6邊形開始：

各多邊形的一邊長m：
m_{6}= M=1
{} m_{12} = \sqrt{2- \sqrt{2+1}}
{} m_{24} = \sqrt{2-\sqrt{2+ \sqrt{2+1}}}
{} m_{48} = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2+1}}}}
{} m_{96} = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2+1}}}}}

半徑=1圓形正內接多邊形面積：

{}\pi\approx A_{24} =m_{12}\cdot 6 =\sqrt{2- \sqrt{2+1}}\cdot 6
{}\pi\approx A_{48} =m_{24}\cdot 12 =\sqrt{2-\sqrt{2+ \sqrt{2+1}}}\cdot 12
{}\pi\approx A_{96} =m_{48}\cdot 24 =\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\cdot24
{}\pi\approx A_{192} =m_{96}\cdot 48 =\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}\cdot 48

祖率[編輯]

南北朝數學家祖沖之，並沒有發明新的方法計算圓周率[15][16]，而是將劉徽割圓術的計算，繼續分割到12288邊形，又用劉徽多邊形面積公式，求得24576邊形的面積：

A_{24576}=3.14159261864 < \pi 。

再用劉徽圓周率不等式：

A_{24576}=3.14159261864 < \pi <A_{24576} + D_{24576}。
其中：
D_{24576}=A_{24576} - A_{12288}=0.0000001021
A_{24576}=3.14159261864 < \pi <3.14159261864 +0.0000001021。
得不等式：
3.14159261864 < \pi <3.141592706934。

取八位有效數字即得祖沖之著名的圓周率不等式：

3.1415926 < \pi <3.1415927。

祖沖之算得的圓周率準確到小數點後7位，保持了世界最準確圓周率達900年之久。祖沖之熟悉何承天調日法，以3為弱率， 以4為強率，通過調日法計算7次得圓周率約率{22 \over 7} >\pi ，計算23次得密率{355 \over 113} > \pi。

根據調日法計算出來的約率和密率都是強率；所謂約率只意味這個數值和圓周率的誤差較大，並無約率「小於」圓周率的意思。

和阿基米德割圓術比較[編輯]

希臘數學家阿基米德用阿基米德割圓術計算圓周率，他的論證以計算線長為依據，在推導過程中不考慮多邊形面積面積，和劉徽的以面積計算為中心的割圓術成對照。他用兩套不同的方法方法，先多次分割圓的切線，證明π>{223 \over 71}；另用內接多邊形，計算到96邊形，證明π<{22 \over 7}，從而得到不等式

{223 \over 71}  <Π < {22 \over 7}。
也就是  3.140845 < \pi < 3.142857[17]

劉徽得到的圓周率弱值3.141024和強值3.142704都比阿基米德準確[18]。

十七次調日值　阿基米德弱值 3.140845 ＜ 劉徽弱值 3.141024 ＜ π ＜ 二十三次調日值　祖沖之密率 3.14159292035 ＜ 劉徽強值 3.142704 ＜ 七次調日值　阿基米德強值 3.142857 。
劉徽的方法較簡潔，只用內接多邊形極限，未用外接多邊形，所得圓周率也優於阿基米德[19]。
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