麥卡托投影法

 
 

麥卡托投影法是一種圓柱形地圖投影法。在以此投影法繪製的地圖上,經緯線於任何位置皆垂直相交,使世界地圖可以繪製在一個長方形上,但高緯度地區南北向的緯線會放大許多,而使面積失真。由於可顯示任兩點間的正確方位,航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製

 

簡介/麥卡托投影法編輯

 

   麥卡托投影法,又稱 墨卡托投影法、 正軸等角圓柱投影,是一種等角的圓柱形地圖投影法。本投影法得名於杰拉杜斯·麥卡托,法蘭提斯出身的 地理學家、地圖學家。他於 1569年發表長202厘米、寬124厘米以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,  緯線於任何位置皆垂直相交,使 世界地圖可以繪製在一個 長方形上。由於可顯示任兩點間的正確方位,航海用途的 海圖、航路圖大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變,從而可以保持大陸輪廓投影后的角度和形狀不變(即 等角);但麥卡托投影會使面積產生變形,高緯度地區南北向的緯線會放大許多,極點的比例甚至達到了無窮大,而使面積失真。

歷史/麥卡托投影法編輯

 

  940年宋朝發明其方法,由於戰爭發明者名稱未詳。直到後來才由歐洲人再次發揚。1569年一位法蘭提斯的地理學家、地圖學家——杰拉杜斯·麥卡托,發明了一種特別的圓柱投影法(亦稱麥卡托投影法),這種方法是將地球儀投影在圓柱筒上,再攤開成為平面地圖的方法,地球儀與圓柱接觸的地方是一個大圓,通常是赤道。這種地圖投影法所投影出來的地圖,呈現長方形的圖廓,地圖可以顯示全部的經線,經線和緯線也都和地球儀上的一樣,保持互相垂直。因此對遠程的航行很有幫助,現在的航海圖大多還是用此種投影法繪製而成的。但麥卡托投影會使面積產生變形,高緯度地區南北向的緯線會放大許多,極點的比例甚至達到了無窮大,而使面積失真。

特色/麥卡托投影法編輯

 

  麥卡托投影(mercator`sprojection)麥卡托投影是一種數學投影,其特色有: 
  (1)經緯線為平行與垂直正交,任何緯線都與赤道等長。 
  (2)正形,但不等積,高緯面積放大,到兩極則為無窮大,故此投影只涵蓋至南北緯80度。 
  (3)適用於航海圖及赤道附近的國家。

應用/麥卡托投影法編輯

 

  Google map採用的就是麥卡托投影, 並且投影涵蓋至南北緯85度。

麥卡托投影法

 
 
麥卡托世界地圖(1569年)
 
以麥卡托投影法呈現的世界地圖。

麥卡托投影法(Mercator projection),又稱麥卡托投影法正軸等角圓柱投影,是一種等角的圓柱形地圖投影法。本投影法得名於傑拉杜斯·麥卡托法蘭提斯出身的地理學家地圖學家。他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,緯線於任何位置皆垂直相交,使世界地圖可以繪製在一個長方形上。由於可顯示任兩點間的正確方位,航海用途的海圖航路圖大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變,從而可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變(即等角);但麥卡托投影會使面積產生變形,極點的比例甚至達到了無窮大。

 

數學計算[編輯]

 
地圖上縱向方位(圖中的橫軸)和緯度(圖中的縱軸)的關係。

下列公式定義在使用麥卡托投影的地圖中,從緯線φ經線λ(其中λ0是地圖的中央經線)如何推導為坐標系中的坐標xy

這是古德曼函數的逆推導:

這是古德曼函數:

比例尺與緯度φ正割成比例,越趨向極地φ = ±90°)面積變形越大。此外,由公式可知,極點處的y值為正負無窮大。

公式推導[編輯]

麥卡托投影是一種等角投影。

假設地球為正球形。(實際上並非為正球形,而是有扁率的,但製作小比例尺地圖時誤差可忽略不計。若需更精確,可插入等角緯線。)我們需要將經緯度坐標(λφ)轉換為笛卡爾坐標(xy),求以赤道為基準的切柱面投影(即x = λ),並保持形狀不變,故:

從 x = λ 可知

給出

因此,yφ的唯一函數,且可得到,由積分表

在地圖中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

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