麥卡托世界地圖（1569年）

 

以麥卡托投影法呈現的世界地圖。

麥卡托投影法(Mercator projection)，又稱麥卡托投影法、正軸等角圓柱投影，是一種等角的圓柱形地圖投影法。本投影法得名於傑拉杜斯·麥卡托，法蘭提斯出身的地理學家、地圖學家。他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上，經緯線於任何位置皆垂直相交，使世界地圖可以繪製在一個長方形上。由於可顯示任兩點間的正確方位，航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變，從而可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變（即等角）；但麥卡托投影會使面積產生變形，極點的比例甚至達到了無窮大。

數學計算[編輯]

 

地圖上縱向方位（圖中的橫軸）和緯度（圖中的縱軸）的關係。

下列公式定義在使用麥卡托投影的地圖中，從緯線φ和經線λ（其中λ₀是地圖的中央經線）如何推導為坐標系中的點坐標x和y。

這是古德曼函數的逆推導：

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}}

這是古德曼函數：

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}}

比例尺與緯度φ的正割成比例，越趨向極地（φ = ±90°）面積變形越大。此外，由公式可知，極點處的y值為正負無窮大。

公式推導[編輯]

麥卡托投影是一種等角投影。

假設地球為正球形。（實際上並非為正球形，而是有扁率的，但製作小比例尺地圖時誤差可忽略不計。若需更精確，可插入等角緯線。）我們需要將經緯度坐標（λ, φ）轉換為笛卡爾坐標(x, y)，求以赤道為基準的切柱面投影（即x = λ），並保持形狀不變，故：

{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}

{\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}}

從 x = λ 可知

{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1}

{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0}

給出

{\displaystyle 1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}}

{\displaystyle 0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}

因此，y是φ的唯一函數，且可得到{\displaystyle y'=\sec \varphi }，由積分表

{\displaystyle y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,}

在地圖中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.